On Euler's example of a completely multiplicative function with sum 0
Sur l'exemple d'Euler d'une fonction complètement multiplicative à somme nulle
Résumé
Euler published a formula that now reads View the MathML source∑1∞λ(n)n=0, λ being the completely multiplicative function equal to −1 on the prime numbers. Thus View the MathML source(λ(n)n) is an example of a CMO function (completely multiplicative with sum 0). We extend this formula by considering λ as defined on Beurling's generalized prime numbers and integers, according to Diamond's condition on generalized primes, which implies a regular distribution of the generalized integers (théorème 3). As an application, we show how to contruct a CMO function carried by a set of integers whose counting function is of the form Dxa(1+o(1))Dxa(1+o(1))(x→∞)(x→∞), for any given a between 0 and 1 (théorème 1).
Euler a publié une formule que nous écrivons aujourd'hui View the MathML source∑1∞λ(n)n=0, λ étant la fonction complètement multiplicative qui vaut −1 sur les nombres premiers. Ainsi, View the MathML source(λ(n)n) est un exemple de fonction CMO (complètement multiplicative à somme nulle). Nous étendons cette formule au cas où λ est définie sur des nombres premiers et entiers généralisés de Beurling, suivant la condition sur les premiers généralisés donnée par Diamond pour assurer la régularité de la distribution des entiers généralisés (théorème 3). En guise d'application, nous indiquons comment construire, pour tout a entre 0 et 1, une fonction CMO dont la distribution du support est de la forme Dxa(1+o(1))Dxa(1+o(1))(x→∞)(x→∞) (théorème 1).
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Mathématiques [math]
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