Une approche au problème du centre-foyer de Poincaré
Résumé
Cherkas transform yields a version of the Poincaré center-focus problem for the trigonometric Abel equations. In this Note, we consider the same problem for polynomial Abel equations. We show the existence of an integrating factor whose coefficients display a linear recurrency relation. We define the Bautin ideal and the Bautin index for these types of recurrency relations and we compute them in several cases. We introduce a tangential version of the centre problem and we solve it using the classical moment theorem. The moment theorem seems to be one of the key ingredient for solving the general case.
Après la transformation de Cherkas, le problème du centre-foyer de Poincaré s'énonce pour des équations d'Abel trigonométriques. Nous considérons le même problème pour des équations d'Abel polynomiales. Nous montrons que ces équations ont un facteur intégrant analytique dont les coefficients, polynomiaux en les paramètres de la perturbation, satisfont une relation de récurrence linéaire. Nous définissons l'idéal de Bautin et l'indice de Bautin d'une telle relation de récurrence et nous le déterminons dans un certain nombre de cas. Nous définissons alors le problème du centre tangentiel et nous en donnons une solution complète grâce au théorème des moments.