Les travaux présentés dans ce mémoire portent sur l'analyse de quelques problèmes mathématiques issus du Calcul des Variations. Loin de couvrir l'ensemble de ce vaste sujet, ils se concentrent essentiellement sur les aspects suivants: existence et relaxation, étude de minima ou de points stationnaires, théorie de la régularité, ou encore convergence variationnelle. A l'image du très célèbre problème de Plateau, les questions posées ont le plus souvent une nature géométrique, certaines d'entre elles ayant trait aux surfaces minimales, ou aux applications harmoniques. Toutefois, le cadre mathématique reste celui de l'analyse. Il fait appel à la théorie elliptique des équations aux dérivées partielles et à la théorie (géométrique) de la mesure. Les différentes études sont pour la plupart motivées par un souci de compréhension de phénomèmes issus de la physique de la matière condensée, ou de la mécanique des milieux continus. Chaque section de ce mémoire constitue un résumé d'un travail spécifique ayant fait l'objet d'une publication. Le premier chapitre est consacré aux problèmes de nature "vectorielle" qui font intervenir des espaces de fonctions à valeurs dans une variété. Dans ce cadre, nous y parlons d'applications harmoniques, d'équations de Ginzburg-Landau, ou encore d'homogénéisation. Le deuxième chapitre, quant à lui, s'attache aux questions "scalaires" où les objets géométriques inhérents sont de dimension ou de codimension 1. Il y est fait mention d'hypersurfaces minimales, d'inégalités isopérimétriques, et de problèmes aux discontinuités libres.